Examen Frühjahr 2011, Aufgabe 3.5

Aufgabenstellung

Sei U:=\IR^2\setminus\{(0,0\} und f=(f_1,f_2):U\rightarrow\IR^2 stetig differenzierbar mit

(1)   \begin{equation*}  \frac{\partial f_1}{\partial x}=\frac{\partial f_2}{\partial y}, \frac{\partial f_1}{\partial y}=-\frac{\partial f_2}{\partial x} \text{ auf } U \end{equation*}

und

(2)   \begin{equation*}  \lim_{n\rightarrow\infty} f\left(\frac{1}{n},0\right)=(1,0), \lim_{n\rightarrow\infty} f\left(-\frac{1}{n},0\right)=(-1,0). \end{equation*}

Zeigen Sie, dass es eine Folge (x_n,y_n)\subset U gibt mit

(3)   \begin{equation*}  \lim_{n\rightarrow\infty}(x_n,y_n)=(0,0), \lim_{n\rightarrow\infty}f(x_n,y_n)=(0,1). \end{equation*}

(Hinweis: Nutzen Sie Hilfsmittel der Funktionentheorie.)

Lösungsvorschlag

Die Eigenschaften bezüglich der partiellen Ableitungen der Funktion f sind genau die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen. Wir wissen somit, dass die Funktion g:=f_1+if_2 in U\tilde{=}\IC\setminus\{0\} holomorph ist und im Ursprung eine Singularität besitzt.
Übersetzt in die Sprache der Funktionentheorie sollen wir nun zeigen, dass wenn für eine solche Funktion g die Aussagen

(4)   \begin{equation*}  \lim_{n\rightarrow\infty}g\left(\frac{1}{n}\right)=1 \text{ und }  \lim_{n\rightarrow\infty}g\left(-\frac{1}{n}\right)=-1 \end{equation*}

zutreffen, es Folgen (a_n)_{n\in\IN}, (b_n)_{n\in\IN} gibt mit

(5)   \begin{equation*}   \lim_{n\rightarrow\infty}g\left(a_n\right)=0 \text{ und }   \lim_{n\rightarrow\infty}g\left(b_n\right)=i.  \end{equation*}

Da die Funktion g entlang zweier gegen den Ursprung konvergierender Folgen zwei verschiedene Grenzwerte hat, liegt dort eine wesentliche Singularität vor. Nun ist in jeder Umgebung B_\varepsilon(0) des Ursprungs das Bild g(B_\varepsilon(0)) dicht in \IC, es gibt also zu jedem Punkt c in \IC eine Folge (c_n)_{n\in\IN} in B_\varepsilon(0), die gegen c konvergiert. Insbesondere gibt es eine solche Folge auch für die Punnkte 0 und i.

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