Examen Frühjahr 2011, Aufgabe 3.3

Aufgabenstellung

  1. Sei

        \begin{equation*}  g:\IR^2\rightarrow\IR, g(x,y):=x^3+3xy^2-3xy.  \end{equation*}

    Bestimmen Sie alle kritischen Punkte von g und entscheiden Sie jeweils, ob es sich um ein (striktes) lokales Maximum oder Minimum oder um einen Sattelpunkt handelt.

  2. Welche stationären Lösungen des Differentialgleichungssystems

        \begin{align*}  x'=&-6xy+3x \\ y'=&3x^2+3y^2-3y  \end{align*}

    sind stabil, welche instabil?

Lösungsvorschlag

  1. Wir führen eine einfache Kurvensdisskussion anhand der Funktion g durch. Der Gradient (\sim 1. Ableitung) lautet

        \begin{equation*} grad(g)(x,y)=\begin{pmatrix} 	\frac{\partial g}{\partial x}(x,y) \\ \frac{\partial g}{\partial y}(x,y) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 	3x^2+3y^2-3y \\ 6xy-3x \end{pmatrix}. \end{equation*}

    Kritische Punkte sind genau die Punkte (x_i,y_i)\in\IR^2, in denen der Gradient verschwindet. Dies reduziert sich auf das Lösen des Gleichungssystems

        \begin{align*} I:~~&3x^2+3y^2-3y=0 \\ II:~~&6xy-3x=0. \end{align*}

    Für x\neq 0 ist nach zweiter Gleichung y=\frac{1}{2}. Dieser Wert in I eingesetzt liefert x=\pm \frac{1}{2}. Für x=0 ist Gleichung II erfüllt. Eingesetzt in I liefert es die Werte y=0 und y=1. Alle kritischen Punkte sind also die vier Punkte

        \begin{align*} (x_1,y_1)=(0,0)~~~&~~~(x_2,y_2)=(0,1) \\ (x_3,y_3)=\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)~~~&~~~(x_4,y_4)=\left(-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right). \end{align*}

    Die Jakobimatrix (\sim 2. Ableitung) von g ist

        \begin{align*} Jg(x,y)=&\begin{pmatrix} 	\frac{\partial^2 g}{\partial x^2}(x,y) & \frac{\partial^2 g}{\partial x\partial y}(x,y) \\ 	\frac{\partial^2 g}{\partial y\partial x}(x,y) & \frac{\partial^2 g}{\partial y^2}(x,y) \end{pmatrix} \\  =&\begin{pmatrix} 	6x & 6y-3 \\ 	6y-3 & 6x \end{pmatrix}. \end{align*}

    Die Werte (x_i,y_i), i\in\{1,...,4\} in die Jakobimatrix eingesetzt liefern die Matrizen

        \begin{align*} J_1:=\begin{pmatrix} 	0 & -3\\ -3 & 0 \end{pmatrix}~~~&~~~J_2:=\begin{pmatrix} 	0 & 3\\ 3 & 0 \end{pmatrix} \\ J_3:=\begin{pmatrix} 	3 & 0\\ 0 & 3 \end{pmatrix}~~~&~~~J_4:=\begin{pmatrix} 	-3 & 0\\ 0 & -3 \end{pmatrix}. \end{align*}

    Um auf Definitheit der Matrizen J_i zu testen, bestimmen wir deren Eigenwerte \lambda_{i;1,2}. Diese können wir direkt ablesen, oder wir verwenden die spur-det-Formel \frac{1}{2}(spur\pm \sqrt{spur^2-4det}):

        \begin{align*} \lambda_{1;1,2}=\pm 3~~~&~~~\lambda_{2;1,2}=\pm 3 \\ \lambda_{3;1,2}= 3~~~&~~~\lambda_{4;1,2}=- 3. \end{align*}

    Die Matrizen J_1, J-2 sind somit indefinit, es liegt in den Punkten (x_1,y_1),(x_2,y_2) also ein Sattelpunkt vor. Die Matrix J_3 ist positiv definit, in (x_3,y_3) liegt also ein Minimum vor. Aus der negativen Definitheit von J_4 schließen wir auf ein Maximum im Punkt (x_4,y_4). \begin{figure}[h] \centering \subfigure[Um den Punkt (x_1,y_1)]{\includegraphics[width=0.45\textwidth]{images/2011F-P1.pdf}}\qquad \subfigure[Um den Punkt (x_2,y_2)]{\includegraphics[width=0.45\textwidth]{images/2011F-P2.pdf}} \\ \subfigure[Um den Punkt (x_3,y_3)]{\includegraphics[width=0.45\textwidth]{images/2011F-P3.pdf}}\qquad \subfigure[Um den Punkt (x_4,y_4)]{\includegraphics[width=0.45\textwidth]{images/2011F-P4.pdf}} \caption[3D-Plot der Funktion g(x,y)=x^3+3xy^2-3xy]{Dreidimensionaler Plot der Funktion g in der Nähe der kritischen Punkte.} \end{figure} \begin{figure}[h] \centering \subfigure{\includegraphics[width=0.5\textwidth]{images/2011F-streamdensityplot.pdf}}\hfill \caption{Das Phasenportrait des Differentialgleichungssystems. Man erkennt die stabilen und instabilen Ruhelagen.} \end{figure}

  2. Die rechten Seiten des Differentialgleichungssystems stimmen verblüffend genau mit dem Gradient von g aus Teilaufgabe (a) überein. Tatsächlich kann man erkennen, dass es sich bei der Funktion -g um eine Hamilton-Funktion des Differentialgleichungssystems handelt. Die Hamilton-Funktion ist auf der Bildmenge einer Lösung des Systems konstant, somit können wir aus den Niveau-Linien von -g Informationen über das Phasenportrait gewinnen. Die Tatsache, dass wir -g betrachten, vertauscht lediglich die Begriffe “Minimum” und “Maximum” aus Teilaufgabe (a). Die Interpretation der Sachverhalte bleibt jedoch gleich. Die Sattelpunkte in den Punkten (0,0) und (0,1) entsprechen instabilen Gleichgewichtslagen des Differentialgleichungssystems. Das Minimum bzw. Maximum in den Punkten (\pm \frac{1}{2},\frac{1}{2}) entsprechen Kreisförmigen Linien im Phasenportrait um eben diese Punkte, was die Stabilität der Gleichgewichtslagen zur Folge hat.

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