Examen Frühjahr 2011, Aufgabe 2.5

Aufgabenstellung

Gegeben sei das Differenzialgleichugssystem

    \begin{align*}  x'=&-x+2e^{2t}y \\ y'=&-2y.  \end{align*}

  1. Bestimmen Sie die allgemeine Lösung des Differenzialgleichungssystems.
  2. Geben Sie alle Ruhelagen des Systems an und untersuchen Sie diese auf Attraktivität.

Lösungsvorschlag

  1. Es fällt auf, dass die Differentialgleichung für y nicht von x abhängt. Diese ist mit ein wenig Grundwissen schnell gelöst. Die allgemeine Lösung ist

        \begin{equation*}  	y(t)=c_2e^{-2t}.  \end{equation*}

    Setzen wir das in die Differentialgleichung für x ein, so erhalten wir die von y unabhängige Differentialgleichung

        \begin{equation*}  x'=-x+2c_2.  \end{equation*}

    Mit ein wenig Grundwissen oder einigen Rechnungen auf dem Konzeptpapier (Probieren oder Trennung der Veränderlichen) erhalten wir die allgemeine Lösung

        \begin{equation*}  x(t)=c_1e^{-t}+2c_2.  \end{equation*}

    In Vektorschreibweise ergibt sich für die allgemeine Lösung des Differentialgleichungssystems die Funktion

        \begin{equation*}  \begin{pmatrix}  	x(t)\\y(t)  \end{pmatrix}=c_1\begin{pmatrix}  	e^{-t}\  \end{pmatrix}+c_2 \begin{pmatrix}  	2\\e^{-2t}  \end{pmatrix}.  \end{equation*}

  2. Eine Lösung starte in einer kleinen \delta-Umgebung um den Nullpunkt. Für festes 0<|b|<\delta gilt jedoch, dass die Lösung für t\rightarrow \infty gegen den Punkt \begin{pmatrix}  	2b\  \end{pmatrix} strebt. Der Nullpunkt ist also keine attraktive Gleichgewichtslage.

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