Examen Frühjahr 2011, Aufgabe 2.4

Aufgabenstellung

Gegeben sei die Differentialgleichung

    \begin{equation*}  e^{-x}(x+y)-e^{-x}(y-x)y'=0.  \end{equation*}

  1. Untersuchen Sie, ob die Differentialgleichung exakt ist oder ob wenigstens ein integrierender Faktor existiert.
  2. Bestimmen Sie jeweils die maximal fortgesetzte Lösung der Differentialgleichung, die der folgenden Anfangsbedingung genügt:
    1. y(1)=0
    2. y(-1)=1

Lösungsvorschlag

  1. Wir haben hier eine Differentialgleichung der Form

        \begin{equation*}  p(x,y)+q(x,y)y'=0~~\text{mit}~~p(x,y)=e^{-x}(x+y), q(x,y)=-e^{-x}(y-x).  \end{equation*}

    Diese ist genau dann exakt, wenn die Integrabilitätskriterium \frac{\partial q}{\partial x}=\frac{\partial p}{\partial y} erfüllt ist. Hier gilt jedoch

        \begin{equation*}  e^{-x}(y-x+1)=\frac{\partial q}{\partial x}\neq \frac{\partial p}{\partial y}=e^{-x}.  \end{equation*}

    Wir suchen nun also einen integrierenden Faktor \mu(x,y) – eine nullstellenfreie stetig differenzierbare Funktion. Hier müssen wir nicht lange suchen, da die Funktion \mu(x,y)=e^x sich regelrecht aufzwingt. Es gilt nun

        \begin{equation*}  \frac{d}{dx}(e^x p(x,y))=1=\frac{d}{dy}(e^xq(x,y)),  \end{equation*}

    und ein integrierender Faktor ist gefunden.

  2. Um ein erstes Integral der Differentialgleichung

        \begin{equation*}  (x+y)-(y-x)y'=0  \end{equation*}

    zu finden, machen wir den Ansatz

        \begin{align*}  \int x+y dx=&\frac{x^2}{2}+xy+c_1(y) \\ \stackrel{!}{=}&\int x-y dy=xy-\frac{y^2}{2}+c_2(x),  \end{align*}

    durch den wir die implizite Lösung

        \begin{equation*}  -\frac{y^2}{2}+xy+ \frac{x^2}{2}=c  \end{equation*}

    erhalten. Lösen wir diese Gleichung nun nach y auf, so erhalten wir

        \begin{equation*}  y_{1,2}(x)=x\pm\sqrt{2x^2-2c},  \end{equation*}

    wobei das Vorzeichen der Wurzel dem Anfangswertproblem angepasst werden muss. Für die beiden Anfangswerte aus der Angabe erhalten wir nun die Lösungen

        \begin{align*}  y(x)=&x-\sqrt{2x^2-1}~~~\text{mit}~~~y(1)=0 \\ y(x)=&x+\sqrt{2x^2+2}~~~\text{mit}~~~y(-1)=1  \end{align*}

    Leave a Reply