Examen Frühjahr 2011, Aufgabe 1.4

Aufgabenstellung

Gegeben sei die Funktion

(1)   \begin{equation*}  f:D\rightarrow\IC, z\mapsto\frac{1}{z^2+2z+2} \end{equation*}

mit maximaler Definitionsmenge D\subseteq\IC.

  1. Zeigen Sie, dass das Integral der Funktion f über den positiv orientierten Kreis um 0 mit Radius 3 verschwindet.
  2. Zeigen Sie mit oder ohne Hilfe von (a), dass f auf \{z\in\IC :   |z|>2\} eine komplexe Stammfunktion hat. (Diese braucht nicht unbedingt ausgerechnet zu werden.)

Lösungsvorschlag

  1. Die Funktion g=z^2+2z+2 hat als Polynom genau in den Punkten 1\pm i Nullstellen erster Ordnung, was leicht aus der Mitternachtsformel hervorgeht. Das Reziproke f besitzt somit genau in diesen Punkten Pole erster Ordnung. Die Summe der Residuen berechnet sich zu

    (2)   \begin{equation*}   Res_{-1+i}(f)+Res_{-1-i}(f)=\frac{1}{(-1+i-(-1-i))}+\frac{1}{((-1-i)-(-1+i))}=0. \end{equation*}

    Wegen |-1\pm i|=\sqrt{2} gilt für die Integration entlang jeder positiv orientierten Kreislinie B_r(0) mit r>\sqrt{2} nach dem Residuensatz

    (3)   \begin{equation*}  \int_{B_r(0)}f(z)dz=2\pi i\sum_{z\in B_r(0)}Res_z(f)=0. \end{equation*}

    Dies gilt insbesondere für \partial B_3(0), wie in der Aufgabenstellung verlangt.

  2. Da nach (a) das Integral \int_{B_r(0)}f(z)dz verschwindet und f auf \IC\setminus \overline{B_2(0)} holomorph ist, gilt \int_\gamma f(z)dz=0 für jeden geschlossenen Weg in \IC\setminus\overline{B_2(0)}. Dies ist äquivalent zur Existenz einer komplexen Stammfunktion.

    Leave a Reply