Examen Frühjahr 2011, Aufgabe 1.3

Aufgabenstellung

Für \alpha\in\IR sei das Differentialgleichungssystem

    \begin{equation*}  \begin{pmatrix}  	x'\\y'  \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}  	\alpha & 0\\1 & -2  \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}  	x\\y  \end{pmatrix}- \begin{pmatrix}  	x^3\  \end{pmatrix}  \end{equation*}

gegeben. Untersuchen Sie für alle \alpha\in\IR, ob der Fixpunkt (0,0)^T asymptotisch stabil oder stabil ist.

Lösungsvorschlag

Wie wir auf den ersten Blick sehen, lässt sich durch Linearisierung bereits einiges aussagen. Das System

    \begin{equation*} \begin{pmatrix} 	x\\y \end{pmatrix}'=\begin{pmatrix} 	a&0\\1&-2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 	x\\y \end{pmatrix} \end{equation*}

ist die Linearisierung des ursprünglichen Systems. Da diese Matrix Dreiecksgestalt hat, können wir die Eigenwerte direkt ablesen und somit direkt Stabilitätsaussagen gewinnen. Alle Eigenwerte der Matrix sind a und -2. Ist nun a0, so ist ein Eigenwert positiv, so dass der Ursprung nach (?) instabiler Natur ist. Falls a=0 ist, kann mit dem Linearisierungssatz keine Aussage getroffen werden. Hierfür benötigen wir einen anderen Ansatz. Umgeschrieben lautet das System

    \begin{align*} x'=&-x^3 \\ y'=&x-2y. \end{align*}

Die erste Zeile des Systems ist eine eigenständige Differentialgleichung. Sie ließe sich zum Beispiel durch Trennung der Variablen lösen, uns jedoch interessiert nur das Verhalten \lim_{t\rightarrow\infty}x(t) einer Lösung. Da x'=-x^3 eine skalare autonome Differentialgleichung ist, sind alle nicht konstanten Lösungen streng monoton und nähern sich für t\rightarrow\infty einem Gleichgewichtspunkt an oder divergieren. Da in diesem Fall für einen positiven Startwert eine negative Steigung und für einen negativen Startwert eine positive Steigung vorliegt (man setze positive bzw. negative Werte in die rechte Seite ein), streben alle Lösungen für t\rightarrow\infty gegen 0, es gilt also

(1)   \begin{equation*} \lim_{t\rightarrow\infty}x(t)=0.  \end{equation*}

Die Differentialgleichung

    \begin{equation*} y'(t)=-2y(t)+x(t) \end{equation*}

betrachten wir nun auch völlig isoliert vom ursprünglichen System. Hier liegt eine skalare inhomogene lineare Differentialgleichung erster Ordnung vor. Der Satz (?) besagt hierfür, dass die Nulllösung dieser inhomogenen linearen Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten genau dann asymptotisch stabil ist, wenn die Nulllösung eine asymptotisch stabile Lösung des homogenen Teils

    \begin{equation*} y'=-2y \end{equation*}

ist. Da dies offensichtlich erfüllt ist (Lösungen hierfür sind der Gestalt ce^{-2t}). Die asymptotische Stabilität beider Lösungen überträgt sich auf das System, so dass für a=0 die Nulllösung asymptotisch stabiler Natur ist.

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