Examen Frühjahr 2011, Aufgabe 1.2

Aufgabenstellung

Bestimmen sie alle reellen Lösungen y(x) der Differentialgleichung

    \begin{equation*}  y''+3y'=e^{4x}.  \end{equation*}

Lösungsvorschlag

Diese Differentialgleichung ist eine inhomogene Differentialgleichung zweiter Ordnung. Durch das Lösungsschema erhalten wir somit alle Lösungen. Hierzu bestimmen wir den Lösungsraum des homogenen Teils

    \begin{equation*}  y''+3y'=0.  \end{equation*}

Direktes Erraten oder die Bestimmung der Nullstellen des charakteristischen Polynoms a^2+3a=0 liefert mit e^{0\cdot x} und e^{-3x} zwei Basisvektoren des Lösungsraums des homogenen Teils, also

    \begin{equation*}  y_h=\lambda_1+\lambda_2 e^{-3x}.  \end{equation*}

Eine spezielle Lösung findet man durch den Ansatz y_s(t)=ce^{4x}. Es gilt

    \begin{equation*}  y_s'(x)=4ce^{4x}  \end{equation*}

und

    \begin{equation*}  y_s''(x)=16ce^{4x}.  \end{equation*}

Eingesetzt in die Differentialgleichung ergibt sich

    \begin{equation*}  y_s''(x)+3y_s'(x)=28ce^{4x}=e^{4x}  \end{equation*}

So dass für c=\frac{1}{28} alle Lösungen y_{allg} durch

    \begin{equation*}  y_{allg}(x)=y_s(x)+y_h(x)=\frac{1}{28}e^{4x}+\lambda_1+\lambda_2e^{-3x}  \end{equation*}

gegeben sind.

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