Examen Frühjahr 2011, Aufgabe 1.1

Aufgabenstellung

Untersuchen Sie für die Differentialgleichung

    \begin{equation*}  y'=2\sqrt{|y-1|}  \end{equation*}

jeweils, ob es Lösungen mit den wie folgt vorgegebenen Werten gibt, und geben Sie im Falle der Existenz alle solchen Lösungen an:

  1. y(0)=0 und y(1)=2
  2. y(0)=0 und y(2)=2
  3. y(0)=0 und y(3)=2

Lösungsvorschlag

Wir erkennen sofort, dass die Funktion f(y)=2 \sqrt{|y-1|} in allen Punkten y\neq 1 lokal Lipschitzstetig ist, in y=1 ist sie nur stetig. Somit besitzen alle Anfangswertprobleme y'=f(y), y(t_0)=y_0\neq 1 eine lokal eindeutige Lösung. Weiterhin ist f(x)\geq0, so dass jede mögliche Lösung stets monoton steigend ist. Die “`gemeinsame”‘ Anfangswertbedingung y'=f(y),y(0)=0 besitzt um den Ursprung eine eindeutige Lösung, welche sich mit der Methode der Trennung der Variablen ermitteln lässt:

    \begin{align*} \int_0^y \frac{dv}{2\sqrt{1-v}}= &\int_0^t dx \\ \Rightarrow -\sqrt{1-y}+1= &t \\ \Rightarrow y(t)= &1\pm(1-t)^2 \\ \stackrel{y'\geq 0~}{\Rightarrow} y(t)= &1-(1-t)^2. \end{align*}

  1. Wir betrachten eine Lösung des Randwertproblems y'=f(y), y(0)=0, y(1)=2. Die eben ermittelte Lösung für y(0)=0 lässt sich bis bis y(t)=1, also t=1 fortsetzen. Bis zu diesem Zeitpunkt ist der Verlauf einer Lösung des Randwertproblems eindeutig festgelegt. Da diese Lösung im Punkt t=1 wegen der Stetigkeit den Wert 1 annehmen muss, das Randwertproblem jedoch den Wert 2 vorschreibt, existiert in diesem Fall keine Lösung.
  2. Zur Anfangswertbedingung y'=f(y), y(2)=2 lässt sich die lokal eindeutige Lösung y(t)=1+(1-t)^2 mit der Methode der Trennung der Variablen ermitteln (komplett analog zu oben und Ausschluss der nicht monoton steigenden Lösung). Für t1 mit 1+(1-t)^2 ist der Verlauf einer Lösung des Randwertproblems außerhalb von t=1 eindeutig festgelegt. Die Stetigkeit einer solchen Lösung erzwingt y(1)=1, so es außer der eindeutige Lösung

        \begin{equation*} y(t)=\begin{cases} 1-(1-t)^2 & \text{ f\"ur } t\leq1 \\ 1+(1-t)^2 & \text{ f\"ur } t>1 \end{cases} \end{equation*}

    keine weiteren Lösungen gibt.

  3. Die Anfangswertbedingung y(3)=2 liefert die lokal eindeutige Lösung 1+(t-2)^2. Auch hier verwende man die Methode der Trennung der Variablen und schließe die monoton fallende Funktion aus. Nun ist für t2 mit 1+(t-2)^2 der Verlauf einer Lösung des Randwertproblems eindeutig festgelegt. Für die Grenzwerte gilt

        \begin{equation*} \lim_{t\nearrow 1}1-(1-t)^2=1=\lim_{t\searrow 2}1+(t-2)^2. \end{equation*}

    Die Funktion ist monoton steigend und die konstante Funktion 1 löst offensichtlich die Differentialgleichung, so dass man mit ihr und nur mit ihr den Bereich [1,2] “`überbrücken”‘ kann. Somit ist die eindeutige Lösung dieses Randwertproblems durch

        \begin{equation*} y(t)=\begin{cases} 1-(1-t)^2 & \text{ f\"ur } t\leq1 \\ 1 & \text{ f\"ur } 12 \end{cases} \end{equation*}

    gegeben.

\begin{figure}[htbp] \centering \includegraphics[width=0.60\textwidth]{images/2011F-A-1-Parabeln.pdf} \caption{Eine Skizze aller gefundenen infrage kommenden Lösungen. Diese hilft bei der Zusammensetzung der eigentlichen Lösung.} \label{2011F-A-1-Parabeln} \end{figure} Anmerkung: Der Gedankengang bei solchen Aufgaben ist stets, außerhalb der problematischen Stelle eindeutige Lösungen zu finden und diese Funktionen dann aneinander zu ketten. Da sich in diesem Fall stets Parabeln ergaben, ist eine Skizze schnell gezeichnet und liefert hilfreiche Hinweise für die Lösung der Aufgabe. Abbildung (??) hilft beim Verständnis des Lösungsweges.

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