Examen Frühjahr 2010, Aufgabe 3.5

Aufgabenstellung

Für die Funktion

(1)   \begin{equation*}  f(z)=\frac{2}{z(z^2+1)} \end{equation*}

bestimme man die Laurentreihen (Laurententwicklung) in den Bereichen A_1=\{z\in\IC : 0 < z < \frac{1}{2}\},A_2=\{z\in\IC : 0 < |z-i| < 1\}, A_3=\{z\in\IC : 2 < |z-i| < 3\}, und berechne längs \alpha(t)=\frac{1}{2}e^{it} und \beta(t)=4e^{4it},t\in[0,2\pi], die Wegintegrale \int_\alpha f(z)dz,\int_\beta f(z)dz.
Hinweis: Partialbruchzerlegung.

Lösungsvorschlag

Durch den Ansatz der Partialbruchzerlegung

(2)   \begin{equation*}   \frac{2}{z(z^2+1)}=\frac{2}{z(z-i)(z+i)}=\frac{A}{z}+\frac{B}{z+i}+\frac{C}{z-i}  \end{equation*}

findet durch den Zwischenschritt

(3)   \begin{equation*}   \frac{2}{z(z^2+1)}=\frac{A(z^2+1)+B(z^2-iz)+C(z^2+iz)}{z(z^2+1)}  \end{equation*}

und das lineare Gleichungssystem

    \begin{align*}     A+B+C=&0 \\    -iB+iC=&0 \\    A=&2  \end{align*}

schnell die Form

(4)   \begin{equation*}   \frac{2}{z(z^2+1)}=\frac{2}{z}+\frac{1}{z+i}+\frac{1}{z-i}.  \end{equation*}

  1. Da für 0<|z|<\frac{1}{2} die Ungleichung 0<\left|\frac{z}{i}\right|<1 gilt, sind folgende Brüche Grenzwerte entsprechender geometrischer Reihen.

        \begin{align*}     \frac{2}{z}+\frac{1}{z+i}+\frac{1}{z-i}=&\frac{2}{z}+\frac{1}{i}\frac{1}{1-\left(-\frac{z}{i}\right)}-\frac{1}{i}\frac{1}{1-\frac{z}{i}} \\    =&\frac{2}{z}+\frac{1}{i}\sum_{k=0}^\infty\left(-\frac{z}{i}\right)^k-\frac{1}{i}\sum_{k=0}^\infty\left(\frac{z}{i}\right)^k \\    =&\frac{2}{z}+\sum_{k=0}^\infty-\left(-\frac{1}{i}\right)^{k+1}z^k-\sum_{k=0}^\infty\left(\frac{1}{i}\right)^{k+1}z^k \\    =&\frac{2}{z}+\sum_{k=0}^\infty -\left(i^{k+1}+(-i)^{k+1}\right)z^k  \end{align*}

  2. Da für 0<|z-i|<1 sowohl |-\frac{z-i}{i}|<1 als auch |-\frac{z-i}{2i}|<1 gilt, sind folgende Brüche Grenzwerte entsprechender geometrischer Reihen.

        \begin{align*}     \frac{2}{z}+\frac{1}{z+i}+\frac{1}{z-i}=&\frac{1}{z-i}+\frac{2}{i+z-i}+\frac{1}{2i+z-i} \\    =&\frac{1}{z-i}+\frac{2}{i}\frac{1}{1-(-\frac{z-i}{i})}+\frac{1}{2i}\frac{1}{1-(-\frac{z-i}{2i})} \\    =&\frac{1}{z-i}+\frac{2}{i}\sum_{k=0}^\infty\left(-\frac{z-i}{i}\right)^k+\frac{1}{2i}\sum_{k=0}^\infty\left(-\frac{z-i}{2i}\right)^k \\    =&\frac{1}{z-i}+\sum_{k=0}^\infty     -2\left(-\frac{1}{i}\right)^{k+1}(z-i)^k+\sum_{k=0}^\infty-\left(-\frac{1}{2i}\right)^{k+1}(z-i)^k \\    =&\frac{1}{z-i}+\sum_{k=0}^\infty\left(-2i^{k+1}-\left(\frac{i}{2}\right)^{k+1}\right)(z-i)^k  \end{align*}

  3. Da für 2<|z-i|<3 sowohl |-\frac{i}{z-i}|<1 als auch |-\frac{2i}{z-i}|<1 gilt, sind folgende Brüche Grenzwerte entsprechender geometrischer Reihen.

        \begin{align*}  \frac{2}{z}+\frac{1}{z+i}+\frac{1}{z-i}=&\frac{1}{z-i}+\frac{2}{i+z-i}+\frac{1}{2i+z-i} \\ =&\frac{1}{z-i}+\frac{2}{z-i}\frac{1}{\frac{i}{z-i}+1}+\frac{1}{z-i}\frac{1}{\frac{2i}{z-i}+1} \\ =&\frac{1}{z-i}+\frac{2}{z-i}\frac{1}{1-\left(-\frac{i}{z-i}\right)}+\frac{1}{z-i}\frac{1}{1-\left(-\frac{2i}{z-i}\right)} \\ =&\frac{1}{z-i}+\frac{2}{z-i}\sum_{k=0}^\infty\left(-\frac{i}{z-i}\right)^k+\frac{1}{z-i}\sum_{k=0}^\infty\left(-\frac{2i}{z-i}\right)^k \\ =&\frac{1}{z-i}+\sum_{k=0}^\infty(-i)^k\cdot  2\cdot(z-i)^{-(k+1)}+\sum_{k=0}^\infty(-2i)^k(z-i)^{-(k+1)} \\ =&\frac{1}{z-i}+\sum_{k=1}^\infty\left(2(-i)^{k-1}+(-2i)^{k-1}\right)(z-i)^{-k} \\ =&\frac{1}{z-i}+\sum_{k=-\infty}^{-1}\left(2(-i)^{-k-1}+(-2i)^{-k-1}\right)(z-i)^k \\ =&4(z-i)^{-1}+\sum_{k=-\infty}^{-2}\left(2(-i)^{-k-1}+(-2i)^{-k-1}\right)(z-i)^k  \end{align*}

Für die Wegintegrale entlang \alpha und \beta gilt folgendes.

  1. Die einzige Singularität im Inneren von \alpha ist der Ursprung. Aus der Laurententwicklung geht hervor, dass das Residuum im Ursprung 2 beträgt. Somit ergiebt nach dem Residuensatz die Integration entlang der Kurve \alpha den Wert 4\pi i.
  2. Das Residuum der Funktion f im Punkt i geht aus obiger Rechnung als -1 hervor. Das Residuum im Punkt -i berechnet sich schnell durch

    (5)   \begin{equation*}   Res_{-i}(f)=\lim_{z\rightarrow   -i}(z+i)\frac{2}{z(z+i)(z-i)}=\frac{2}{-i(-2i)}=-1.  \end{equation*}

    Da alle Singularitäten der Funktion f im Inneren von \beta liegen, ist der Integralwert entlang \beta ein Vielfaches der Summe der Residuen. Dies errechnet sich zu

    (6)   \begin{equation*}   \int_\beta f=2\pi i (Res_0(f)+Res_i(f)+Res_{-i}(f))=2\pi i(2-1-1)=0.  \end{equation*}

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