Examen Frühjahr 2010, Aufgabe 3.3

Aufgabenstellung

Man bestimme das Volumen des Bereichs

(1)   \begin{equation*}  B=\{(x,y,z)\in\IR^3 : x \geq 0,y <\geq 0, z\geq 0, x+2y+3z \leq 1\}. \end{equation*}

Lösungsvorschlag

Das Volumen eines Bereiches bestimmen wir, indem wir die Funktion 1 über alle möglichen zulässigen Werte (x,y,z)\in B integrieren. Für den Wert x gilt ohne Einschränkung durch y oder z die Ungleichung

(2)   \begin{equation*}   0\leq x \leq 1.  \end{equation*}

Nimmt x einen Wert aus dieser Spanne an, so gilt für y die Abschätzung

(3)   \begin{equation*}   0\leq y \leq \frac{1-x}{2}.  \end{equation*}

Nun gilt für z die Abschätzung

(4)   \begin{equation*}   0\leq z \leq \frac{1-x-2y}{3},  \end{equation*}

so dass sich zur Berechnung des Volumens des Bereiches B die Formel

(5)   \begin{equation*}   Vol(B)=\int_0^1\int_0^{\frac{1-x}{2}}\int_0^{\frac{1-x-2y}{3}}dzdydx  \end{equation*}

ergibt. Hieraus ergibt sich

    \begin{align*}     Vol(B)=&\int_0^1\int_0^{\frac{1-x}{2}}\int_0^{\frac{1-x-2y}{3}}dzdydx \\    =&\int_0^1\int_0^{\frac{1-x}{2}}\frac{1-x-2y}{3}dydx \\    =&\int_0^1\left[y\frac{1-x}{3}-\frac{y^2}{3}\right]^{\frac{1-x}{2}}_0dx \\    =&\int_0^1\frac{1-x^2}{12}dx \\    =&\left[\frac{x}{12}-\frac{x^3}{36}\right]_0^1=\frac{1}{12}-\frac{1}{36}=\frac{1}{18}.  \end{align*}

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