Examen Frühjahr 2010, Aufgabe 3.2

Aufgabenstellung

Gegeben sei die Differentialgleichung

    \begin{equation*}  x'=p(x)x  \end{equation*}

mit einer stetig differenzierbaren Funktion p:\IR\rightarrow\IR.

  1. Man zeige: Ist p(0)>0, so ist 0 ein nichtstabiles Gleichgewicht.
  2. Für \xi>0 beweise man: \xi ist genau dann ein asymptotisch stabiles Gleichgewicht, wenn die Funktion p für ein r>0 die folgenden Bedingungen erfüllt: p(x)>0 für \xi-r<x<\xi und p(x)<0 für \xi<x<\xi+r.

Lösungsvorschlag

  1. Dies zeigen wir schnell durch den Satz über die lineareisierte asymptotisches Stabilität. Linearisiert um den Punkt 0 ergibt sich die rechte Seite der Differentialgleichung zu

        \begin{equation*} \left.\frac{dx'}{dx}\right|_{x=0}=p'(x)x+p(x)|_{x=0}=p(0)>0. \end{equation*}

    Die “`Jacobimatrix”‘ besitzt nun nur den “`Eigenwert”‘ p(0). Dieser ist positiv, also ist das Gleichgewicht 0 instabil.

  2. “`\Rightarrow“‘ Da \xi ein Gleichgewicht ist, gilt p(\xi)=0. Weiterhin ist \xi eine isolierte Nullstelle von p, denn sonst gäbe es in jeder Umgebung um \xi einen weiteren Gleichgewichtspunkt \zeta, so dass die konstante Lösung \zeta für t\rightarrow\infty nicht nach \xi strebt. Da die Nullstelle isoliert ist, gibt es eine Umgebung (\xi-\varepsilon,\xi+\varepsilon), in der die Funktion xp(x) außer \xi keine Nullstelle besitzt, insbesondere also auch nicht den Ursprung enthält. Nach (?) wissen wir über skalare autonome Differentialgleichungen, dass nichtkonstante Lösungen streng monoton sind und – sofern geeignet beschränkt – gegen einen Gleichgewichtspunkt streben. Um asymptotisch stabil zu sein, muss eine Lösung, die im Intervall (\xi-\varepsilon,\xi) (bzw. (\xi,\xi+\varepsilon)) startet, gegen \xi streben, also streng monoton steigend (bzw. streng monoton fallend) sein. Dies x'=p(x)x>0 im Intervall (\xi-\varepsilon,\xi) (bzw. x'=p(x)x0 vorausgesetzt wurde, folgt p(x)>0 im Intervall (\xi-\varepsilon,\xi) (bzw. p(x)0 für x\in(\xi-\varepsilon,\xi) und p(x)0 vorausgesetzt wurde, ist das Intervall auf der positiven reellen Achse enthalten. Eine Lösung, welche in (\xi-\varepsilon,\xi) (bzw. (\xi,\xi+\varepsilon)) startet, ist somit wegen x>0 und p(x)>0 (bzw. p(x)<0) streng monoton steigend (bzw. streng monoton fallend). Eine Lösung läuft nach (?) für t\rightarrow\infty gegen \xi. Hieraus folgt nach (?) die asymptotische Stabilität von \xi.

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