Examen Frühjahr 2010, Aufgabe 3.1

Aufgabenstellung

Man bestimme alle Lösungen des Systems von Differentialgleichungen

    \begin{equation*}  x'=\begin{pmatrix} -1 & 1 & -2 \\ 0 & -1 & 4 \\ 0 & 0 & 1  \end{pmatrix}x.  \end{equation*}

Hat das System eine stabile oder eine asymptotisch stabile Gleichgewichtslösung?

Lösungsvorschlag

Die Eigenwerte dieser Matrix kann man direkt ablesen, da sie Dreiecksgestalt hat. Diese lauten -1 (doppelt) und 1 (einfach). Die dazugehörigen Eigenräume lauten

    \begin{equation*}  Eig_{-1}A=ker(A+I)=ker  \begin{pmatrix} 0 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 4 \\ 0 & 0 & 2  \end{pmatrix}=  \left\langle  \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0  \end{pmatrix}\right\rangle  \end{equation*}

bzw.

    \begin{equation*}  Eig_1A=ker(A-I)=ker  \begin{pmatrix} -2 & 1 & -2 \\ 0 & -2 & 4 \\ 0 & 0 & 0  \end{pmatrix}=  \left\langle  \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 1  \end{pmatrix}\right\rangle.  \end{equation*}

Da

    \begin{equation*}  \begin{pmatrix} 0 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 4 \\ 0 & 0 & 2  \end{pmatrix}  \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0  \end{pmatrix}=  \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0  \end{pmatrix}  \end{equation*}

ist, ist (0,1,0)^T ein passender Hauptvektor und somit ist

    \begin{equation*}  T:=  \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1  \end{pmatrix}  \end{equation*}

eine geeignete Transformationsmatrix, die A in die Jordannormalform

    \begin{equation*}  J:=  \begin{pmatrix} -1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1  \end{pmatrix}  \end{equation*}

bringt. So sind laut dem Struktursatz alle Lösungen für \lambda_1,\lambda_2,\lambda_3\in\IR durch

    \begin{equation*}  x_{allg}=  \lambda_1\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0  \end{pmatrix}e^{-t}+\lambda_2  \begin{pmatrix} t \\ 1 \\ 0  \end{pmatrix}e^{-t}+\lambda_3  \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 1  \end{pmatrix}e^t  \end{equation*}

gefunden. Als Gleichgewichtslösung kommt nur die Nulllösung in Frage. Diese ist jedoch instabil, da ein Eigenwert positiven Realteil besitzt.

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