Examen Frühjahr 2010, Aufgabe 2.5

Aufgabenstellung

Betrachten Sie das System gewöhnlicher Differentialgleichungen

    \begin{align*}  x_1'=&-x_2+x_1\left(\lambda-(x_1^2+x_2^2)^2\right) \\ x_2'=&x_1+x_2\left(\lambda-(x_1^2+x_2^2)^2\right)  \end{align*}

mit einem positiven Parameter \lambda>0.

  1. Bestimmen Sie mithilfe von Polarkoordinaten x_1=r\cos\phi, x_2=r\sin\phi alle periodischen Lösungen sowie deren (minimale) Periode T>0.
  2. Bestimmen Sie für jede Lösung des Systems den Grenzwert \lim_{t\rightarrow\infty}|x(t)|.

Lösungsvorschlag

  1. Die Überführung in Polarkoordinaten geschieht nach einem festen Schema. Die Funktion r=r(t) misst zu einem Zeitpunkt t den Abstand einer Lösung zum Ursprung, die Funktion \phi=\phi(t) drückt den dazugehörigen Winkel aus.

        \begin{align*} P_1:=(x_1)'=&(r\cos\phi)'=r'\cos\phi-r\phi'\sin\phi \\ =&-r\sin\phi+r\cos\phi(\lambda-((r\cos\phi)^2+(r\sin\phi)^2)^2 \\ =&-r\sin\phi+r\cos\phi(\lambda-r^4) \end{align*}

    bzw.

        \begin{align*} P_2:=(x_2)'=&(r\sin\phi)'=r'\sin\phi+r\phi'\cos\phi \\ =&r\cos\phi+r\sin\phi(\lambda-((r\cos\phi)^2+(r\sin\phi)^2)^2 \\ =&r\cos\phi+r\sin\phi(\lambda-r^4) \end{align*}

    Der Ansatz P_1\cos\phi+P_2\sin\phi liefert nun eine Differentialgleichung für r, P_2\cos\phi-P_1\sin\phi eine für \phi.

    (1)   \begin{align*} r'=&r(\lambda-r^4)\\  \phi'=&1 ~~~~~~~~~~\Rightarrow \phi(t)=t+c\label{DGLfuerphi} \end{align*}

    Aus der Perspektive der Polarkoordinaten kann man nun leichter Aussagen bezüglich der Periodizität von Lösungen machen. Es wird nicht mehr das Kreisen der Objekte beobachtet, sondern nur noch deren Abstand zum Ursprung und deren Winkel. Die Differentialgleichung \phi'=1 besagt, dass die Lösungen sich mit konstanter Winkelgeschwindigkeit gegen den Uhrzeigersinn (mathematisch positiv) bewegen, was bedeutet, dass sie für alle Zeiten links herum um den Ursprung rotieren. Eingesetzt in den Ausdruck für x_{1,2} ergibt sich die minimale Periode T=2\pi.

    Die Differentialgleichung für r ist autonomer Natur. Dies hat zur Folge, dass alle Lösungen streng monoton sind und für t\rightarrow\infty gegen \infty oder gegen eine Stabilitätslage konvergieren. \begin{figure}[htb] \subfigure{\includegraphics[width=0.49\textwidth]{images/2010F/2010F-A-5-streamdensityplot.pdf}}\hfill \subfigure{\includegraphics[width=0.49\textwidth]{images/2010F/2010F-A-5-streamdensityplotpolar.pdf}} \caption[Phasenportrait von x'=-y+x(1-(x^2+y^2)^2), y'=x+y(1-(x^2+y^2)^2) und r'=r(1-r^4),\phi'=1]{Phasenportrait der Ursprünglichen Differentialgleichung (links) und der Differentialgleichung in Polarkoordinaten zum Wert \lambda=1. Man sieht schön, dass durch die Transformation die Information des Rotierens herausgefiltert wurde.} \label{10-F-B-5-polar} \end{figure}

  2. Aus dem Satz von Picard-Lindelöf lässt sich nun folgendes qualitatives Verhalten beschreiben: Die einzigen reellen nichtnegativen Nullstellen von (1) sind r=0 und r=\sqrt[4]{\lambda}. Sei nun y:I\rightarrow\IR^2 eine Lösung und t_0\in I für ein Intervall I\in\IR.

    Gilt zu diesem Zeitpunkt |y(t_0)|=0, so ist y die Nulllösung.

    Gilt zu diesem Zeitpunkt |y(t_0)|=\sqrt[4]{\lambda}, so gilt |y(t)|=\sqrt[4]{\lambda} für alle t\in I, da der Abstand r sich nicht ändert. Gilt zu diesem Zeitpunkt 0<|y(t_0)|<\sqrt[4]{\lambda}, so gilt dies für alle t\in I. Lösungen autonomer Differentialgleichungen sind streng monoton und für 0<|y(t_0)|=r<\sqrt[4]{\lambda} wächst der Abstand zum Ursprung ((1) ist positiv). Maximal fortgesetzte Lösungen konvergieren gegen die Stabilitätslage \sqrt[4]{\lambda}, denn würden sie das nicht tun, wäre der Grenzwert[1] eine weitere Stabilitätslage.

    Gilt zu diesem Zeitpunkt \sqrt[4]{\lambda}<|y(t_0)|, so gilt dies für alle t\in I. Da der Abstand zum Ursprung größer als \sqrt[4]{\lambda} ist, liefert die Differentialgleichung (1) einen negativen Wert. Aus den gleichen Argumenten wie eben folgt, dass diese Lösungen "`von außen"' gegen die Stabilitätslage \sqrt[4]{\lambda} konvergieren. Für die Nulllösung gilt also \lim_{t\rightarrow\infty}|x(t)|=0, für alle anderen gilt \lim_{t\rightarrow\infty}|x(t)|=\sqrt[4]{\lambda}. Die Nullstellen von (1) liefern Funktionen, die mit Radius 0 bzw. \sqrt[4]{\lambda} kreisförmig um den Nullpunkt rotieren. Alle anderen Lösungen liefern Spiralen, die sich – entweder von innen oder von außen – gegen den Uhrzeigersinn an den Kreis heranschmiegen.

    Abbildung (??) visualisiert diesen Sachverhalt.

  • [1]Der nach Bolzano-Weierstrass aufgrund der strengen Monotonie existiert
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