Examen Frühjahr 2010, Aufgabe 2.4

Aufgabenstellung

Gegeben sei das System gewöhnlicher Differentialgleichungen

    \begin{align*}  x_1'=&ax_1-bx_1x_2 \\ x_2'=&-cx_2+dx_1x_2  \end{align*}

mit beliebigen positiven Konstanten a,b,c,d.

  1. Bestimmen Sie alle Gleichgewichtslösungen
  2. Welche Stabilitätsaussagen lassen sich über diese Gleichgewichte durch Linearisierung herleiten?

Lösungsvorschlag

  1. Die Gleichgewichtspunkte sind genau die Punkte (x_1,x_2)\in\IR^2, für die die Ableitungen verschwinden. Setzen wir also x_1'=x_2'=0 und dividieren durch den jeweiligen Koeffizienten von x_1x_2, so erhalten wir das Gleichungssystem

        \begin{align*}  0=&\frac{a}{b}x_1-x_1x_2 \\ 0=&- \frac{c}{d}x_2+x_1x_2.  \end{align*}

    Addieren wir diese Gleichungen, so erhalten wir

        \begin{equation*}  \frac{a}{b}x_1=\frac{c}{d}x_2  \end{equation*}

    Setzen wir dieses Ergebnis in die erste Gleichung ein, so erhalten wir

        \begin{equation*}  0=\frac{c}{d}x_2- \frac{bc}{ad}x_2^2=\frac{c}{d}x_2\cdot\left(1- \frac{b}{a}x_2\right),  \end{equation*}

    so dass alle Lösungen obigen Gleichungssystems durch (0,0) und (\frac{c}{d},\frac{a}{b}) gegeben sind.

  2. Die Linearisierung des Differentialgleichungssystems erfolgt durch die Bildung der partiellen Ableitungen der rechten Seiten. So ergibt sich die Matrix

        \begin{equation*}  J(x_1,x_2):=\begin{pmatrix}  	\frac{\partial x_1'}{\partial x_1} &   	\frac{\partial x_1'}{\partial x_2} \\ 	\frac{\partial x_2'}{\partial x_1} &   	\frac{\partial x_2'}{\partial x_2}  \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}  	a-bx_2 & -bx_1 \\ 	dx_2 & -c+dx_1  \end{pmatrix}.  \end{equation*}

Werten wir nun diese Matrix an den Gleichgewichtspunkten aus, so liefern uns die jeweiligen Eigenwerte eventuell Informationen über die Stabilität.
Die Punkte (0,0) und (\frac{c}{d},\frac{a}{b}) in die Matrix J eingesetzt ergeben die Matrizen

    \begin{equation*}  J_1:=\begin{pmatrix}  	a & -b \\ 0 & -c  \end{pmatrix}~~~~\text{bzw.}~~~~J_2:=\begin{pmatrix}  	0 & -\frac{bc}{d} \\ \frac{ad}{b} & 0  \end{pmatrix}.  \end{equation*}

Die Eigenwerte a und -c von J_1 lassen sich direkt ablesen. Da die Konstanten a,b,c,d alle positiv sind, besitzt J_1 einen positiven Eigenwert, so dass die Gleichgewichtslage (0,0) als instabil einzustufen ist.
Das charakteristische Polynom p(\lambda)=det(J_2-\lambda E) lautet p(\lambda)=\lambda^2+ac. Da beide Konstanten positiv sind, sind die Nullstellen des charakteristischen Polynoms beide reinimaginär, haben also verschwindenden Realteil. Hieraus lassen sich keine Antworten zur Stabilität herleiten.

    Leave a Reply