Examen Frühjahr 2010, Aufgabe 2.1

Aufgabenstellung

Sei f:\IC\rightarrow\IC eine ganze Funktion. Entscheiden Sie, ob die folgenden Behauptungen wahr sind. Begründen Sie Ihre Antwort jeweils mit einem kurzen Beweis oder einem Gegenbeispiel.

  1. Wenn f(z)\in\IR für alle z\in\IC, dann ist f konstant.
  2. Wenn f\left(\frac{1}{n}\right)=\frac{i}{n} ist für alle n\in\IN, dann ist f(z)=iz für alle z\in\IC.
  3. Wenn f eine nichtkonstante Polynomfunktion ist, dann gibt es eine stückweise stetig differenzierbare Kurve \gamma:[0,1]\rightarrow\IC mit \int_\gamma f(z)dz=2\pi i.
  4. Die Funktion \frac{1}{f} hat in 0 keinen Pol.
  5. Die Funktion r\mapsto\int_{|z|=r}f(z)dz ist konstant auf (0,\infty).
  6. Die Potenzreihe \sum_{n=0}^\infty\frac{1}{n!}f^{(n)}(1)(z-1)^n konvergiert für alle z\in\IC.

Lösungsvorschlag

  1. Diese Aussage ist korrekt, wie der Satz über die Gebietstreue besagt. Im nichtkonstanten Fall müsste das Bild von \IC unter f offen sein.
  2. Dies folt direkt aus dem Identitätssatz. Die Funktion iz stimmt auf der in \IC konvergenten Folge (1/n) mit f überein.
  3. Da f nicht konstant ist, gibt es eine Nullstelle a von f und eine Nullstelle b der Funktion f(z)-2\pi i. Die Kurve \gamma verlaufe von a nach b. Da f holomorph ist, gilt der Satz über die wegunabhägige Integrierbarkeit und wir können direkt entlang der Strecke integrieren. Der Wert entspricht der Differenz f(b)-f(a)=2\pi i.
  4. Nein, die Identität z ist ein Gegenbeispiel.
  5. Ja, da das Integral entlang einer geschlossenen Kurve über ganze Funktionen stets verschwindet. Die Abbildung ist somit die Nullfunktion.
  6. Ja, da dies genau die Taylorentwicklung der Funktion f um den Punkt 1 ist. Die Taylorentwicklung ganzer Funktionen konvergiert in ganz \IC.

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