Examen Frühjahr 2010, Aufgabe 1.4

Aufgabenstellung

  1. Zeigen Sie, dass Real- und Imaginärteile holomorpher Funktionen harmonisch sind.
  2. Gibt es eine holomorphe Funktion f=u+iv:\IC\rightarrow\IC, deren Realteil u(x+iy)=x^2+y^2 ist? Beweisen Sie Ihre Antwort.

Lösungsvorschlag

  1. Dies folgt direkt aus den Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen. Da jede holomorphe Funktion f=u+iv stets zweimal stetig partiell differenzierbar sind, folgt aus \frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial   v}{\partial y} und \frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial   x} direkt \frac{\partial^2 u}{\partial^2 x}=\frac{\partial^2 v}{\partial y   \partial x} und \frac{\partial^2 u}{\partial^2 y}=-\frac{\partial^2   v}{\partial x \partial y}. Hieraus folgt \frac{\partial^2 u}{\partial^2   x}+\frac{\partial^2 u}{\partial^2 y}=0. Analoges gilt für v.
  2. Wir untersuchen, ob der angegebene Realteil harmonisch ist, da nach (a) dies ein notwendiges Kriterium ist. Nun ist \frac{\partial^2 u}{\partial^2    x}+\frac{\partial^2 u}{\partial^2 y}=2+2=4 \neq 0. Somit kann es keine holomorphe Funktion f mit angegebenem Realteil geben.

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