Aufgabenstellung
Es sei stetig differenzierbar,
und
für alle
. Zeigen Sie, dass die nichtlineare Schwingungsgleichung
keine periodische Lösung außer besitzt. Hinweis: Indirekter Beweis und Multiplikation mit
.
Lösungsvorschlag
Wir probieren es mit einem direkten Beweis. Für einen indirekten mache man die in der Angabe gewünschte Annahme. Die Nullfunktion löst die Differentialgleichung, also ändern alle anderen Lösungen der Differentialgleichung ihr Vorzeichen nicht. Außerdem gibt es keine weiteren konstanten Lösungen. Multiplizieren wir für die Gleichung mit
, so erhalten wir
(1)
Hieraus ergibt sich sofort
(2)
Somit ist die Funktion eine monoton fallende Funktion. Da mit
auch
periodisch ist, folgt
für ein geeignetes
. Hieraus folgt bereits, dass
konstant ist, was jedoch nur für den Fall
möglich ist.