Examen Frühjahr 2010, Aufgabe 1.3

Aufgabenstellung

Es sei f:\IR\rightarrow\IR stetig differenzierbar, f(0)=0 und f(r)r>0 für alle r\neq 0. Zeigen Sie, dass die nichtlineare Schwingungsgleichung

    \begin{equation*} x''+f(x')+x=0 \end{equation*}

keine periodische Lösung außer x(t)=0 besitzt. Hinweis: Indirekter Beweis und Multiplikation mit x'.

Lösungsvorschlag

Wir probieren es mit einem direkten Beweis. Für einen indirekten mache man die in der Angabe gewünschte Annahme. Die Nullfunktion löst die Differentialgleichung, also ändern alle anderen Lösungen der Differentialgleichung ihr Vorzeichen nicht. Außerdem gibt es keine weiteren konstanten Lösungen. Multiplizieren wir für x\not\equiv 0 die Gleichung mit x', so erhalten wir

(1)   \begin{equation*} x'x''+f(x')x'+xx'=0. \end{equation*}

Hieraus ergibt sich sofort

(2)   \begin{equation*} ((x')^2)'+(x^2)'=-2f(x')x'\leq 0. \end{equation*}

Somit ist die Funktion (x')^2+x^2 eine monoton fallende Funktion. Da mit x auch (x')^2+x^2 periodisch ist, folgt (x')^2+x^2\equiv c für ein geeignetes x\in\IR. Hieraus folgt bereits, dass x konstant ist, was jedoch nur für den Fall x\equiv 0 möglich ist.

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