Examen Frühjahr 2010, Aufgabe 1.2

Aufgabenstellung

Geben Sie alle Lösungen von

    \begin{equation*}  x^{(5)}-2x^{(3)}+x'=e^t  \end{equation*}

für reelles t\in\IR an.
Hinweis: Ansatz für eine partikuläre Lösung: x(t)=p(t)e^t mit einem Polynom p(t).

Lösungsvorschlag

Alle Lösungen dieser linearen Differentialgleichung fünfter Ordnung ergeben sich, indem man zu einer partikulären Lösung die allgemeine Lösung des homogenen Teils der Differentialgleichung addiert. Wir kümmern uns erst um die homogene Differentialgleichung

    \begin{equation*} x^{(5)}-2x^{(3)}+x'=0. \end{equation*}

Setzen wir e^{\lambda t} hinein, so reduziert sich das Problem auf die Bestimmung der Nullstellen des Polynoms \lambda^5-2\lambda^3+\lambda. Klammern wir ein \lambda aus und wenden die Mitternachtsformel an, so erhalten wir die Nullstellen

    \begin{equation*} \lambda_1=0,~~~\lambda_{2,3}=1 \text{ (doppelt)},~~~\lambda_{4,5}=-1\text{ (doppelt)}. \end{equation*}

Die allgemeine Lösung des homogenen Teils lautet also für c_i\in\IR

    \begin{equation*} x_{hom}(t)=c_1+c_2e^t+c_3te^t+c_4e^{-t}+c_5te^{-t}. \end{equation*}

Da doppelte Resonanz vorliegt, wäre x_{part}(t)=(at^2+bt+c)e^t ein geeigneter Ansatz, der schnell zum Ziel führt. Wir folgen jedoch dem Hinweis und nehmen den Ansatz x_{part}(t)=p(t)e^t mit einem allgemeinen Polynom und folgern daraus, dass das Polynom eins von genau zweiten Grades sein muss. Nun ergibt sich durch sukzessives Differenzieren

    \begin{align*} x_{part}(t)=&e^tp(t) \\ x_{part}'(t)=&e^t(p(t)+p'(t)) \\ x_{part}''(t)=&e^t(p(t)+2p'(t)+p''(t)) \\ x_{part}^{(3)}(t)=&e^t(p(t)+3p'(t)+3p''(t)+p^{(3)}(t)) \\ x_{part}^{(4)}(t)=&e^t(p(t)+4p'(t)+6p''(t)+4p^{(3)}(t)+p^{(4)}(t)) \\ x_{part}^{(5)}(t)=&e^t(p(t)+5p'(t)+10p''(t)+10p^{(3)}+5p^{(4)}(t)+p^{(5)}(t)). \end{align*}

Die Ähnlichkeit zur allgemeinen binomischen Formel ist kein Zufall. Der Leser beweise dies per Induktion. Setzen wir nun die benötigten Ableitungen von x_{part} in die inhomogene Differentialgleichung ein, so erhalten wir in aufgelöster Form

(1)   \begin{equation*} e^t(4p''(t)+3p^{(3)}(t)+5p^{(4)}(t)+p^{(5)}(t))=e^t.  \end{equation*}

Wäre nun der Grad des Polynoms größer zwei, so wäre die Klammer auf der linken Seite nicht konstant. Wäre der Grad des Polynoms kleiner zwei, so würde die Klammer verschwinden. Das Polynom p ist also der Gestalt p(t)=at^2+bt+c mit passenden Konstanten a,b,c\in\IR. Eingesetzt in (1) ergibt sich nun

    \begin{equation*} e^t(4\cdot 2\cdot a)=e^t. \end{equation*}

Die Konstanten b,c sind beliebig zu wählen, wir setzen also b=c=0. Die Konstante a ist als \frac{1}{8} zu wählen. Alle Lösungen der Differentialgleichung lauten also

    \begin{align*} x_{allg}(t)=&x_{part}(t)+x_{hom}(t) \\ = &\frac{t^2}{8}e^t+c_1+c_2e^t+c_3te^t+c_4e^{-t}+c_5te^{-t}. \end{align*}

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