Examen Frühjahr 2010, Aufgabe 1.1

Aufgabenstellung

Geben Sie für das Anfangswertproblem

    \begin{align*}  y'=&\sqrt{y^2-1} \\ y(0)=&1  \end{align*}

eine zweiparametrige Schar von Lösungen an.

Lösungsvorschlag

Hier liegt keine Lipschitzstetigkeit der Funktion f(y)=\sqrt{y^2-1} im Punkt y=1 vor, so dass wir nicht mit einer eindeutigen Lösung zu rechnen haben. Die konstante Funktion y=1 löst offensichtlich das Anfangswertproblem. Mit der Methode der Trennung der Variablen und mit Hilfe eines Blickes in die Formelsammlung machen wir uns auf die Suche nach weiteren Lösungen.

    \begin{align*}  \frac{dy}{dt}=& \sqrt{y^2-1x} \\ \Rightarrow \int \frac{1}{\sqrt{y^2-1}}dy=&\int 1 dx \\ \Rightarrow arccosh(y)=&x+c \\ \Rightarrow y=&\cosh(x+c)  \end{align*}

Wir können die 1-Funktion und den Cosinus Hyperbolicus beliebig aneinanderheften. Dies führt zu den Lösungen

    \begin{equation*}  y(x)=\begin{cases}    \cosh(x-a)  & \text{f\"ur }x\leq a\leq0 \\   1 & \text{f\"ur }a\leq x \leq b \\   \cosh(x-b) & \text{f\"ur } x\geq b\geq0  \end{cases},  \end{equation*}

wobei a\in[-\infty,0] und b\in[0,\infty] die Zeitpunkte sind, bei denen eine Lösung die konstante Lösung 1 verlässt. Da ab dem Zeitpunkt des Verlassens der weitere Verlauf eindeutig festgelegt ist, sind dies alle Lösungen.
Abbildung (??) visualisiert den Sachverhalt. \begin{figure} \centering \includegraphics[width=0.80\textwidth]{images/2010F-Cosh.pdf} \caption{Einige Lösungen für die Differentialgleichung y'=\sqrt{y^2-1}. Die Mehrdeutigkeit der Lösungen wird ersichtlich.} \label{fig:2010F-Cosh} \end{figure}

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