Examen Herbst 2012, Aufgabe 2.2

Aufgabenstellung Sei eine ganze Funktion mit der Eigenschaft, dass für alle gilt. Zeigen Sie, dass für alle gilt. Sei eine ganze Funktion mit der Eigenschaft, dass für alle . Zeigen Sie, dass konstant ist. Lösungsvorschlag Da gilt, verschwindet nie. Wir dürfen also das Reziproke von bilden. Nun ist ebenso eine ganze Funktion, welche jedoch durch […]

Examen Herbst 2012, Aufgabe 2.3

Aufgabenstellung Sei offen, und seien und auf holomorph. Weiter habe in eine Nullstelle zweiter Ordnung. Zeigen Sie, dass (1)   Sei offen, , und die auf holomorphe Funktion habe in einen Pol -ter Ordnung, . Sei ein Polynom vom Grad . Zeigen Sie, dass in einen Pol der Ordnung besitzt. Lösungsvorschlag \item[a)] Wegen der Holomorphie […]

Examen Herbst 2012, Aufgabe 2.4

Aufgabenstellung Lösen Sie die Differentialgleichung (1)   und zeigen Sie, dass die Lösung für alle existiert. Lösen Sie die Differentialgleichung (2)   bestimmen Sie das maximale Existenzintervall , alle lokalen Extrema der Lösung auf und klassifizieren Sie diese nach Maxima und Minima. Lösungsvorschlag Diese Differentialgleichung ist separierbarer Natur. Wir trennen die Variablen und erhalten (3) […]

Examen Herbst 2012, Aufgabe 3.1

Aufgabenstellung Bestimmen Sie jeweils für und die allgemeine reelle Lösung der Differentialgleichung (1)   Lösungsvorschlag Wir bestimmen im ersten Schritt die allgemeine Lösung des homogenen Teils der Differentialgleichung . Das charakteristische Polynom hierzu lautet , welches genau in den Punkten verschwindet. Somit bildet die Menge (2)   ein Fundamentalsystem von Lösungen. Für die verschiedenen Werte […]