Examen Herbst 2011, Aufgabe 3.3

Aufgabenstellung Sei für und . Berechnen Sie die partiellen Ableitungen von . Bestimmen Sie zu alle Lösungen von (1)   Zeigen Sie, dass jede Lösung aus (b) maximal auf einem beschränkten Zeitintervall existiert und geben Sie das Randverhalten der Lösungen an. Lösungsvorschlag Die partiellen Ableitungen errechnen sich leicht zu     bzw.     Das […]

Examen Herbst 2011, Aufgabe 3.5

Aufgabenstellung Sei eine stetige Funktion mit     Berechnen Sie für die Lösungen des Anfangswertproblems für mit . Beweisen Sie: Ist , so existiert die Lösung in für alle Zeiten . Lösungsvorschlag Das Anfangswertproblem , lässt sich mit Trennung der Variablen lösen. Die Formel direkt angewandt liefert     Das Existenzintervall von hängt direkt mit […]

Examen Herbst 2011, Aufgabe 3.1

Aufgabenstellung Bestimmen Sie für die Differentialgleichung     alle reellen Lösungen auf dem Intervall . Benutzen Sie dazu die Substitution mit oder eine andere Methode Ihrer Wahl. Lösungsvorschlag Durch Multiplikation mit lässt sich diese Differentialgleichung direkt in eine Eulersche Differentialgleichung überführen. Die Lösungen können wir mit dem Hinweis aus der Angabe leicht bestimmen. Dazu substituieren […]

Examen Herbst 2011, Aufgabe 3.2

Aufgabenstellung Sei ein Gebiet mit . Untersuchen Sie, ob es holomorphe Funktionen mit den folgenden Eigenschaften gibt: für alle mit , aber . für alle . für alle mit . Lösungsvorschlag Würde es eine solche Funktion geben, so würde sie auf der Folge mit der Nullfunktion übereinstimmen. Um zu zeigen, dass hier bereits der Identitätssatz […]