Examen Herbst 2011, Aufgabe 3.3

Aufgabenstellung Sei für und . Berechnen Sie die partiellen Ableitungen von . Bestimmen Sie zu alle Lösungen von (1)   Zeigen Sie, dass jede Lösung aus (b) maximal auf einem beschränkten Zeitintervall existiert und geben Sie das Randverhalten der Lösungen an. Lösungsvorschlag Die partiellen Ableitungen errechnen sich leicht zu     bzw.     Das […]

Examen Herbst 2011, Aufgabe 3.5

Aufgabenstellung Sei eine stetige Funktion mit     Berechnen Sie für die Lösungen des Anfangswertproblems für mit . Beweisen Sie: Ist , so existiert die Lösung in für alle Zeiten . Lösungsvorschlag Das Anfangswertproblem , lässt sich mit Trennung der Variablen lösen. Die Formel direkt angewandt liefert     Das Existenzintervall von hängt direkt mit […]

Examen Herbst 2011, Aufgabe 2.2

Aufgabenstellung Beantworten Sie die folgenden zwei Fragen zur Funktionentheorie jeweils mit einer kurzen Begründung. Sei holomorph mit für alle . Welchen Wert besitzt das Kurvenintegral (1)   für , wobei den positiv durchlaufenen Kreis um mit Radius bezeichnet? Gibt es eine holomorphe Funktion mit für alle ? Lösungsvorschlag Das Kurvenintegral (2)   sollte aus der […]

Examen Herbst 2011, Aufgabe 2.4

Aufgabenstellung Lösen Sie das Anfangswertproblem     Gibt es Anfangswerte , so dass die Lösung auf ganz existiert? Bestimmen Sie die Lösung des Anfangswertproblems     Lösungsvorschlag Durch die Methode der Trennung der Variablen ergibt sich (informell)     Diese Lösung ist wegen der Stetigkeit der rechten Seite der Differentialgleichung in und der Lipschitzstetigkeit (weil […]