Examen Herbst 2011, Aufgabe 3.3

Aufgabenstellung Sei für und . Berechnen Sie die partiellen Ableitungen von . Bestimmen Sie zu alle Lösungen von (1)   Zeigen Sie, dass jede Lösung aus (b) maximal auf einem beschränkten Zeitintervall existiert und geben Sie das Randverhalten der Lösungen an. Lösungsvorschlag Die partiellen Ableitungen errechnen sich leicht zu     bzw.     Das […]

Examen Herbst 2011, Aufgabe 3.5

Aufgabenstellung Sei eine stetige Funktion mit     Berechnen Sie für die Lösungen des Anfangswertproblems für mit . Beweisen Sie: Ist , so existiert die Lösung in für alle Zeiten . Lösungsvorschlag Das Anfangswertproblem , lässt sich mit Trennung der Variablen lösen. Die Formel direkt angewandt liefert     Das Existenzintervall von hängt direkt mit […]

Examen Herbst 2011, Aufgabe 1.1

Aufgabenstellung Beweisen oder widerlegen Sie die folgenden Aussagen: Es sei stetig und lokal Lipschitz-stetig bezüglich . Dann gibt es für jedes eine eindeutige Lösung des Anfangswertproblems , die auf dem Intervall definiert ist, d.h. . Jede Lösung der Differentialgleichung kann auf ganz fortgesetzt werden. Lösungsvorschlag Nein, das stimmt nicht. Die Funktion ist eine Funktion, die […]

Examen Herbst 2011, Aufgabe 1.2

Aufgabenstellung Es sei ein einfach zusammenhängendes Gebiet, es seien mit , und es seien und biholomorphe Abbildungen von auf sich selbst mit , . Zeigen Sie . Lösungsvorschlag Nach dem Riemannschen Abbildungssatz existiert zu je zwei einfach zusammenhängenden Gebieten und eine biholomorphe Abbildung . Durch sie wird mittels     ein Isomorphismus induziert. Es genügt […]