Examen Herbst 2010, Aufgabe 2.5

Aufgabenstellung Man berechne die allgemeine Lösung der Differentialgleichung (1)   (Hinweis: Eine partikuläre Lösung ergiebt sich aus dem Ansatz .) Lösungsvorschlag Dies ist eine inhomogene lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung. Alle Lösungen ergeben sich, indem wir zu einer partikulären Lösung der inhomogenen Differentialgleichung die allgemeine Lösung der homogenen Differentialgleichung addieren. Eine Lösung des homogenen Teils (2) […]

Examen Herbst 2010, Aufgabe 3.1

Aufgabenstellung Sei eine in einer Umgebung von definierte holomorphe Funktion mit (1)   Zeigen Sie: Für alle mit gilt . (Hinweis: Cauchy-Integralformel.) Lösungsvorschlag Es sei die positiv durchlaufene Kreislinie . Da auf einer Umgebung dieses Kreises definiert ist, liegt darin, wir können also entlang integrieren.Nun gilt nach der Cauchyschen Integralformel und der Standardabschätzung für Wegintegrale […]

Examen Herbst 2010, Aufgabe 3.2

Aufgabenstellung Sei (1)   Zeigen Sie: Jede auf ganz definierte, beschränkte, holomorphe Funktion ist konstant. Lösungsvorschlag Die Funktion hat in jedem Punkt aus eine isolierte Singularität, da diskret ist. Durch die Beschränktheit von liegt in jedem dieser Punkte eine hebbare Singularität vor. Es gibt somit nach dem Riemannschen Hebbarkeitssatz eine holomorphe Funktion , die in […]

Examen Herbst 2010, Aufgabe 3.3

Aufgabenstellung Sei     Zeigen Sie, dass für alle ist, also dass auf ganz definiert ist. Zeigen Sie, dass das Anfangswertproblem     eine auf ganz definierte Lösung hat. Lösungsvorschlag Betrachte die (konvexe) Funktion . Die Ableitung liefert ein Minimum bei , und . Somit ist und . Die Existenz einer Lösung ist durch den […]