Examen Herbst 2009, Aufgabe 1.2

Aufgabenstellung Bestimmen Sie jeweils alle Lösungen der Differentialgleichung für die Randwertprobleme ; ; . Lösungsvorschlag Bevor wir mit den Randwertproblemen starten, bestimmen wir erst die allgemeine Lösung der homogenen linearen Differentialgleichung zweiter Ordnung.Setzen wir in die Differentialgleichung ein, so reduziert sich das Problem auf die Bestimmung der Nullstellen des Polynoms . Mit der Mitternachtsformel sind […]

Examen Herbst 2009, Aufgabe 1.4

Aufgabenstellung Bestimmen Sie ein maximales Gebiet , das die Einheitskreisscheibe enthält, und auf dem die Funktion (1)   eine Stammfunktion besitzt. Falls , zeigen Sie[1] (2)   für alle . Lösungsvorschlag Als Gebiet wählen wir . Auf diesem Gebiet besitzt eine Stammfunktion, da das Integral entlang jeder beliebigen geschlossenen Kurve verschwindet – es gibt nämlich […]

Examen Herbst 2009, Aufgabe 2.1

Aufgabenstellung Man bestimme alle Gleichgewichtspunkte des ebenen autonomen Systems     und untersuche jeden der Gleichgewichtspunkte auf Stabilität, asymptotische Stabilität bzw. Instabilität. Lösungsvorschlag Die Gleichgewichtspunkte des autonomen Systems sind genau die Punkte , in denen die Ableitungen verschwinden. Dies führt zum Gleichungssystem     Da nach der ersten Gleichung weder noch verschwinden dürfen, gilt . […]

Examen Herbst 2009, Aufgabe 2.2

Aufgabenstellung Gegeben sei die skalare Differentialgleichung (1)   Man zeige, dass jede Lösung beschränkt bleibt, nicht für alle Zeiten existiert. Hinweis: Man finde ein geeignetes erstes Integral , so dass unabhängig von ist. Lösungsvorschlag Um zu testen, ob diese Differentialgleichung exakt ist, überprüfen wir die Integrabilitätsbedingung. Hierzu schreiben wir (1) in unsere gewohnte Form   […]