Examen Herbst 2009, Aufgabe 1.4

Aufgabenstellung Bestimmen Sie ein maximales Gebiet , das die Einheitskreisscheibe enthält, und auf dem die Funktion (1)   eine Stammfunktion besitzt. Falls , zeigen Sie[1] (2)   für alle . Lösungsvorschlag Als Gebiet wählen wir . Auf diesem Gebiet besitzt eine Stammfunktion, da das Integral entlang jeder beliebigen geschlossenen Kurve verschwindet – es gibt nämlich […]

Examen Herbst 2009, Aufgabe 2.1

Aufgabenstellung Man bestimme alle Gleichgewichtspunkte des ebenen autonomen Systems     und untersuche jeden der Gleichgewichtspunkte auf Stabilität, asymptotische Stabilität bzw. Instabilität. Lösungsvorschlag Die Gleichgewichtspunkte des autonomen Systems sind genau die Punkte , in denen die Ableitungen verschwinden. Dies führt zum Gleichungssystem     Da nach der ersten Gleichung weder noch verschwinden dürfen, gilt . […]

Examen Herbst 2009, Aufgabe 2.2

Aufgabenstellung Gegeben sei die skalare Differentialgleichung (1)   Man zeige, dass jede Lösung beschränkt bleibt, nicht für alle Zeiten existiert. Hinweis: Man finde ein geeignetes erstes Integral , so dass unabhängig von ist. Lösungsvorschlag Um zu testen, ob diese Differentialgleichung exakt ist, überprüfen wir die Integrabilitätsbedingung. Hierzu schreiben wir (1) in unsere gewohnte Form   […]

Examen Herbst 2009, Aufgabe 2.4

Aufgabenstellung Es sei reell. Es bezeichne den positiv orientierten Halbkreis um den Ursprung vom Radius mit Anfangspunkt und Endpunkt . Zeigen Sie (1)   Folgern Sie (2)   Berechnen Sie das Integral aus (b) auch für . Lösungsvorschlag Nach dem Satz über das Wachstum rationaler Funktionen gibt es ein und ein , so dass für […]