Examen Herbst 2009, Aufgabe 2.2

Aufgabenstellung Gegeben sei die skalare Differentialgleichung (1)   Man zeige, dass jede Lösung beschränkt bleibt, nicht für alle Zeiten existiert. Hinweis: Man finde ein geeignetes erstes Integral , so dass unabhängig von ist. Lösungsvorschlag Um zu testen, ob diese Differentialgleichung exakt ist, überprüfen wir die Integrabilitätsbedingung. Hierzu schreiben wir (1) in unsere gewohnte Form   […]

Examen Herbst 2009, Aufgabe 2.4

Aufgabenstellung Es sei reell. Es bezeichne den positiv orientierten Halbkreis um den Ursprung vom Radius mit Anfangspunkt und Endpunkt . Zeigen Sie (1)   Folgern Sie (2)   Berechnen Sie das Integral aus (b) auch für . Lösungsvorschlag Nach dem Satz über das Wachstum rationaler Funktionen gibt es ein und ein , so dass für […]

Examen Herbst 2009, Aufgabe 3.2

Aufgabenstellung Seien und Folgen komplexer Zahlen mit (1)   Zeigen Sie, dass das Produkt (2)   für alle außerhalb des Abschlusses von konvergiert. Lösungsvorschlag Wir geben uns ein beliebiges außerhalb des Abschlusses von vor. Nun gibt es ein mit für alle .Nach dem Konvergenzkriterium für Produkte gilt nun     Aus der Abschätzung (3)   […]

Examen Herbst 2009, Aufgabe 3.3

Aufgabenstellung Berechnen Sie unter Verwendung eines Integrationsweges, der von über über zurück nach verläuft, das Integral (1)   Lösungsvorschlag Es sei . Da eine konvergente Majorante ist, konvergiert das gesuchte Integral.Die Funktion lässt sich auf holomorph fortsetzen. In den dritten Einheitswurzeln hat Pole erster Ordnung. Wir integrieren nun entlang folgenden Weges mit :     […]