Examen Herbst 2009, Aufgabe 3.5

Aufgabenstellung Finden Sie die allgemeine Lösung des linearen homogenen Systems     für . Welchen Typs ist das Gleichgewicht ?Skizzieren Sie das Phasenportrait, begründen Sie seine Hauptmerkmale. Lösungsvorschlag Der einzige Eigenwert der Matrix (ab sofort ) lässt sich direkt ablesen. Dieser ist mit der algebraischen Vielfachheit und der geometrischen Vielfachheit . Die Matrix ist bereits […]

Examen Herbst 2009, Aufgabe 1.1

Aufgabenstellung Für die Differentialgleichung bestimmen Sie jeweils alle Lösungen zu den Anfangswerten , . (Hinweis: Auch wenn es nicht so aussieht, sind beide Fragen grundverschieden. Achten Sie unbedingt auf das Vorzeichen von . Eine Skizze des Graphen von kann hilfreich sein.) Lösungsvorschlag Bevor wir mit den Anfangswertproblemen starten, betrachten wir einige Eigenschaften der Differentialgleichung. Die […]

Examen Herbst 2009, Aufgabe 1.2

Aufgabenstellung Bestimmen Sie jeweils alle Lösungen der Differentialgleichung für die Randwertprobleme ; ; . Lösungsvorschlag Bevor wir mit den Randwertproblemen starten, bestimmen wir erst die allgemeine Lösung der homogenen linearen Differentialgleichung zweiter Ordnung.Setzen wir in die Differentialgleichung ein, so reduziert sich das Problem auf die Bestimmung der Nullstellen des Polynoms . Mit der Mitternachtsformel sind […]

Examen Herbst 2009, Aufgabe 1.4

Aufgabenstellung Bestimmen Sie ein maximales Gebiet , das die Einheitskreisscheibe enthält, und auf dem die Funktion (1)   eine Stammfunktion besitzt. Falls , zeigen Sie[1] (2)   für alle . Lösungsvorschlag Als Gebiet wählen wir . Auf diesem Gebiet besitzt eine Stammfunktion, da das Integral entlang jeder beliebigen geschlossenen Kurve verschwindet – es gibt nämlich […]