Examen Frühjahr 2011, Aufgabe 3.5

Aufgabenstellung Sei und stetig differenzierbar mit (1)   und (2)   Zeigen Sie, dass es eine Folge gibt mit (3)   (Hinweis: Nutzen Sie Hilfsmittel der Funktionentheorie.) Lösungsvorschlag Die Eigenschaften bezüglich der partiellen Ableitungen der Funktion sind genau die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen. Wir wissen somit, dass die Funktion in holomorph ist und im Ursprung eine Singularität […]

Examen Frühjahr 2011, Aufgabe 1.1

Aufgabenstellung Untersuchen Sie für die Differentialgleichung     jeweils, ob es Lösungen mit den wie folgt vorgegebenen Werten gibt, und geben Sie im Falle der Existenz alle solchen Lösungen an: und und und Lösungsvorschlag Wir erkennen sofort, dass die Funktion in allen Punkten lokal Lipschitzstetig ist, in ist sie nur stetig. Somit besitzen alle Anfangswertprobleme […]

Examen Frühjahr 2011, Aufgabe 1.2

Aufgabenstellung Bestimmen sie alle reellen Lösungen der Differentialgleichung     Lösungsvorschlag Diese Differentialgleichung ist eine inhomogene Differentialgleichung zweiter Ordnung. Durch das Lösungsschema erhalten wir somit alle Lösungen. Hierzu bestimmen wir den Lösungsraum des homogenen Teils     Direktes Erraten oder die Bestimmung der Nullstellen des charakteristischen Polynoms liefert mit und zwei Basisvektoren des Lösungsraums des […]

Examen Frühjahr 2011, Aufgabe 1.3

Aufgabenstellung Für sei das Differentialgleichungssystem     gegeben. Untersuchen Sie für alle , ob der Fixpunkt asymptotisch stabil oder stabil ist. Lösungsvorschlag Wie wir auf den ersten Blick sehen, lässt sich durch Linearisierung bereits einiges aussagen. Das System     ist die Linearisierung des ursprünglichen Systems. Da diese Matrix Dreiecksgestalt hat, können wir die Eigenwerte […]