Examen Frühjahr 2011, Aufgabe 3.5

Aufgabenstellung Sei und stetig differenzierbar mit (1)   und (2)   Zeigen Sie, dass es eine Folge gibt mit (3)   (Hinweis: Nutzen Sie Hilfsmittel der Funktionentheorie.) Lösungsvorschlag Die Eigenschaften bezüglich der partiellen Ableitungen der Funktion sind genau die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen. Wir wissen somit, dass die Funktion in holomorph ist und im Ursprung eine Singularität […]

Examen Frühjahr 2011, Aufgabe 1.3

Aufgabenstellung Für sei das Differentialgleichungssystem     gegeben. Untersuchen Sie für alle , ob der Fixpunkt asymptotisch stabil oder stabil ist. Lösungsvorschlag Wie wir auf den ersten Blick sehen, lässt sich durch Linearisierung bereits einiges aussagen. Das System     ist die Linearisierung des ursprünglichen Systems. Da diese Matrix Dreiecksgestalt hat, können wir die Eigenwerte […]

Examen Frühjahr 2011, Aufgabe 1.4

Aufgabenstellung Gegeben sei die Funktion (1)   mit maximaler Definitionsmenge . Zeigen Sie, dass das Integral der Funktion über den positiv orientierten Kreis um mit Radius verschwindet. Zeigen Sie mit oder ohne Hilfe von (a), dass auf eine komplexe Stammfunktion hat. (Diese braucht nicht unbedingt ausgerechnet zu werden.) Lösungsvorschlag Die Funktion hat als Polynom genau […]

Examen Frühjahr 2011, Aufgabe 2.3

Aufgabenstellung Zeigen Sie, dass für alle gilt: (1)   Lösungsvorschlag Die Funktion besitzt als konvergente Majorante. Das in der Angabe gesuchte Integral existiert also. Wir gehen zum Komplexen über und betrachten die Funktion (2)   Die Polstellen sind alle einfach uns als Einheitswurzeln bekannt. Diese sind explizit durch die Punkte (3)   gegeben. Die Zahlen […]