Examen Frühjahr 2011, Aufgabe 3.5

Aufgabenstellung Sei und stetig differenzierbar mit (1)   und (2)   Zeigen Sie, dass es eine Folge gibt mit (3)   (Hinweis: Nutzen Sie Hilfsmittel der Funktionentheorie.) Lösungsvorschlag Die Eigenschaften bezüglich der partiellen Ableitungen der Funktion sind genau die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen. Wir wissen somit, dass die Funktion in holomorph ist und im Ursprung eine Singularität […]

Examen Frühjahr 2011, Aufgabe 2.3

Aufgabenstellung Zeigen Sie, dass für alle gilt: (1)   Lösungsvorschlag Die Funktion besitzt als konvergente Majorante. Das in der Angabe gesuchte Integral existiert also. Wir gehen zum Komplexen über und betrachten die Funktion (2)   Die Polstellen sind alle einfach uns als Einheitswurzeln bekannt. Diese sind explizit durch die Punkte (3)   gegeben. Die Zahlen […]

Examen Frühjahr 2011, Aufgabe 2.4

Aufgabenstellung Gegeben sei die Differentialgleichung     Untersuchen Sie, ob die Differentialgleichung exakt ist oder ob wenigstens ein integrierender Faktor existiert. Bestimmen Sie jeweils die maximal fortgesetzte Lösung der Differentialgleichung, die der folgenden Anfangsbedingung genügt: Lösungsvorschlag Wir haben hier eine Differentialgleichung der Form     Diese ist genau dann exakt, wenn die Integrabilitätskriterium erfüllt ist. […]

Examen Frühjahr 2011, Aufgabe 2.5

Aufgabenstellung Gegeben sei das Differenzialgleichugssystem     Bestimmen Sie die allgemeine Lösung des Differenzialgleichungssystems. Geben Sie alle Ruhelagen des Systems an und untersuchen Sie diese auf Attraktivität. Lösungsvorschlag Es fällt auf, dass die Differentialgleichung für nicht von abhängt. Diese ist mit ein wenig Grundwissen schnell gelöst. Die allgemeine Lösung ist     Setzen wir das […]