Examen Frühjahr 2010, Aufgabe 3.5

Aufgabenstellung Für die Funktion (1)   bestimme man die Laurentreihen (Laurententwicklung) in den Bereichen ,, , und berechne längs und ,, die Wegintegrale ,.Hinweis: Partialbruchzerlegung. Lösungsvorschlag Durch den Ansatz der Partialbruchzerlegung (2)   findet durch den Zwischenschritt (3)   und das lineare Gleichungssystem     schnell die Form (4)   Da für die Ungleichung gilt, […]

Examen Frühjahr 2010, Aufgabe 1.1

Aufgabenstellung Geben Sie für das Anfangswertproblem     eine zweiparametrige Schar von Lösungen an. Lösungsvorschlag Hier liegt keine Lipschitzstetigkeit der Funktion im Punkt vor, so dass wir nicht mit einer eindeutigen Lösung zu rechnen haben. Die konstante Funktion löst offensichtlich das Anfangswertproblem. Mit der Methode der Trennung der Variablen und mit Hilfe eines Blickes in […]

Examen Frühjahr 2010, Aufgabe 1.2

Aufgabenstellung Geben Sie alle Lösungen von     für reelles an.Hinweis: Ansatz für eine partikuläre Lösung: mit einem Polynom . Lösungsvorschlag Alle Lösungen dieser linearen Differentialgleichung fünfter Ordnung ergeben sich, indem man zu einer partikulären Lösung die allgemeine Lösung des homogenen Teils der Differentialgleichung addiert. Wir kümmern uns erst um die homogene Differentialgleichung     […]

Examen Frühjahr 2010, Aufgabe 1.3

Aufgabenstellung Es sei stetig differenzierbar, und für alle . Zeigen Sie, dass die nichtlineare Schwingungsgleichung     keine periodische Lösung außer besitzt. Hinweis: Indirekter Beweis und Multiplikation mit . Lösungsvorschlag Wir probieren es mit einem direkten Beweis. Für einen indirekten mache man die in der Angabe gewünschte Annahme. Die Nullfunktion löst die Differentialgleichung, also ändern […]