Examen Frühjahr 2010, Aufgabe 1.3

Aufgabenstellung Es sei stetig differenzierbar, und für alle . Zeigen Sie, dass die nichtlineare Schwingungsgleichung     keine periodische Lösung außer besitzt. Hinweis: Indirekter Beweis und Multiplikation mit . Lösungsvorschlag Wir probieren es mit einem direkten Beweis. Für einen indirekten mache man die in der Angabe gewünschte Annahme. Die Nullfunktion löst die Differentialgleichung, also ändern […]

Examen Frühjahr 2010, Aufgabe 1.4

Aufgabenstellung Zeigen Sie, dass Real- und Imaginärteile holomorpher Funktionen harmonisch sind. Gibt es eine holomorphe Funktion , deren Realteil ist? Beweisen Sie Ihre Antwort. Lösungsvorschlag Dies folgt direkt aus den Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen. Da jede holomorphe Funktion stets zweimal stetig partiell differenzierbar sind, folgt aus und direkt und . Hieraus folgt . Analoges gilt für . […]

Examen Frühjahr 2010, Aufgabe 2.1

Aufgabenstellung Sei eine ganze Funktion. Entscheiden Sie, ob die folgenden Behauptungen wahr sind. Begründen Sie Ihre Antwort jeweils mit einem kurzen Beweis oder einem Gegenbeispiel. Wenn für alle , dann ist konstant. Wenn ist für alle , dann ist für alle . Wenn eine nichtkonstante Polynomfunktion ist, dann gibt es eine stückweise stetig differenzierbare Kurve […]

Examen Frühjahr 2010, Aufgabe 2.4

Aufgabenstellung Gegeben sei das System gewöhnlicher Differentialgleichungen     mit beliebigen positiven Konstanten . Bestimmen Sie alle Gleichgewichtslösungen Welche Stabilitätsaussagen lassen sich über diese Gleichgewichte durch Linearisierung herleiten? Lösungsvorschlag Die Gleichgewichtspunkte sind genau die Punkte , für die die Ableitungen verschwinden. Setzen wir also und dividieren durch den jeweiligen Koeffizienten von , so erhalten wir […]