Examen Frühjahr 2010, Aufgabe 3.2

Aufgabenstellung Gegeben sei die Differentialgleichung     mit einer stetig differenzierbaren Funktion . Man zeige: Ist , so ist ein nichtstabiles Gleichgewicht. Für beweise man: ist genau dann ein asymptotisch stabiles Gleichgewicht, wenn die Funktion für ein die folgenden Bedingungen erfüllt: für und für . Lösungsvorschlag Dies zeigen wir schnell durch den Satz über die […]

Examen Frühjahr 2010, Aufgabe 3.3

Aufgabenstellung Man bestimme das Volumen des Bereichs (1)   Lösungsvorschlag Das Volumen eines Bereiches bestimmen wir, indem wir die Funktion über alle möglichen zulässigen Werte integrieren. Für den Wert gilt ohne Einschränkung durch oder die Ungleichung (2)   Nimmt einen Wert aus dieser Spanne an, so gilt für die Abschätzung (3)   Nun gilt für […]

Examen Frühjahr 2010, Aufgabe 3.5

Aufgabenstellung Für die Funktion (1)   bestimme man die Laurentreihen (Laurententwicklung) in den Bereichen ,, , und berechne längs und ,, die Wegintegrale ,.Hinweis: Partialbruchzerlegung. Lösungsvorschlag Durch den Ansatz der Partialbruchzerlegung (2)   findet durch den Zwischenschritt (3)   und das lineare Gleichungssystem     schnell die Form (4)   Da für die Ungleichung gilt, […]

Examen Frühjahr 2010, Aufgabe 1.1

Aufgabenstellung Geben Sie für das Anfangswertproblem     eine zweiparametrige Schar von Lösungen an. Lösungsvorschlag Hier liegt keine Lipschitzstetigkeit der Funktion im Punkt vor, so dass wir nicht mit einer eindeutigen Lösung zu rechnen haben. Die konstante Funktion löst offensichtlich das Anfangswertproblem. Mit der Methode der Trennung der Variablen und mit Hilfe eines Blickes in […]