Examen Frühjahr 2012, Aufgabe 3.2

Aufgabenstellung Sei für alle . Bestimmen Sie die Taylorreihenentwicklung von in . Bestimmen Sie die Laurentreihenentwicklung von in . Bestimmen Sie die Laurentreihenentwicklung von in . Zwei reelle Zahlen erfüllen . Betrachten Sie die Ellipse , wobei mit . Berechnen Sie (1)   Lösungsvorschlag Durch den Ansatz zur Partialbruchzerlegung (2)   findet man schnell die […]

Examen Frühjahr 2012, Aufgabe 2.2

Aufgabenstellung Bestimmen Sie alle holomorphen Funktionen mit der Eigenschaft bzw. , und , bzw. . Lösungsvorschlag Das Wirtinger-Kalkül besagt, dass genau dann analytisch ist, wenn ist. Es ist nun im Falle der holomorphie dieser Funktion (1)   Also ist konstant, da die erste Ableitung verschwindet. Aus der Bedingung folgt mit , dass ist. Da die […]

Examen Frühjahr 2012, Aufgabe 2.1

Aufgabenstellung Wie viele Lösungen (mit Vielfachheit gezählt) hat die Gleichung (1)   in bzw. in ? Lösungsvorschlag Wir stellen die äquivalente Frage, wie viele Nullstellen die Funktion in den jeweiligen Mengen besitzt. Für den Fall sei (2)   Es gilt nun     Somit haben nach dem Satz von Rouché und gleich viele Nullstellen in […]

Examen Frühjahr 2012, Aufgabe 1.3

Aufgabenstellung Es sei . Zeigen Sie, dass es eine holomorphe Funktion mit (1)   für alle gibt. Lösungsvorschlag Nach dem Existenzsatz für holomorphe Logarithmusfunktionen existiert eine solche Funktion auf der Menge genau dann, wenn das Bild von auf ein zusamenhängendes, nullstellenfreies Bild besitzt.Die Frage lässt sich somit beantworten, wenn wir die rechte Seite (2)   […]